Regla matemática
x · y = k
La constante k representa una cantidad total que no cambia. Para dos situaciones:
x₁ · y₁ = x₂ · y₂
Por ejemplo: 6·12 = 9·8 = 72.
A veces, cuando una magnitud aumenta, la otra disminuye de manera perfectamente coordinada. La clave no es “una sube y otra baja”, sino que su producto permanece constante.
Pregunta guía
6 trabajadores → 12 días
9 trabajadores → ¿cuántos días?
Si todos trabajan al mismo ritmo y el trabajo total es el mismo:
6 × 12 = 9 × x
x = 8 días
1 · Observa el patrón
Supongamos una tarea fija: pintar el mismo muro. Si 6 trabajadores tardan 12 días, al aumentar el número de trabajadores debería disminuir el tiempo, siempre que todos tengan el mismo rendimiento.
Mira el producto
3 × 24
= 72
6 × 12
= 72
9 × 8
= 72
El producto trabajadores × días permanece constante: 72 trabajador-días.
En situaciones reales pueden existir límites de espacio, coordinación o rendimiento. Aquí usamos el modelo ideal de productividad constante para aprender la relación matemática.
Clasifica la relación
Refuerzo visual A1
Para el mismo trabajo, más trabajadores significan menos días. No se conserva un cociente: se conserva el producto trabajadores × días.
Producto constante
3×24 = 6×12 = 9×8 = 72 trabajador-días.
2 · Idea fundamental
Si dos magnitudes son inversamente proporcionales, multiplicarlas siempre produce el mismo valor.
Regla matemática
x · y = k
La constante k representa una cantidad total que no cambia. Para dos situaciones:
x₁ · y₁ = x₂ · y₂
Por ejemplo: 6·12 = 9·8 = 72.
No basta con “una sube y otra baja”
Para que sea proporcionalidad inversa, el cambio debe compensarse exactamente.
Si una se duplica, la otra debe reducirse a la mitad. Si una se triplica, la otra debe quedar en la tercera parte.
¿El total se mantiene? ¿Al aumentar una magnitud, la otra debe disminuir?
Calcula el producto conocido: x₁·y₁ = k.
Usa x₂·y₂ = k y divide para encontrar el dato faltante.
3 · Laboratorio interactivo
Elige una situación conocida y cambia el número de trabajadores. La plataforma calculará el tiempo equivalente bajo el modelo ideal.
Resultado
PRODUCTO k
72
NUEVO TIEMPO
8
días
COMPROBACIÓN
9 × 8 = 72
Prueba mental rápida
Pasar de 6 a 9 trabajadores es multiplicar por 1,5; por eso el tiempo debe dividirse entre 1,5.
4 · Visualiza la relación
En una proporcionalidad directa, la gráfica es una recta que pasa por el origen. En una proporcionalidad inversa, la relación es:
y = k / x
La curva se acerca a los ejes, pero no los toca cuando trabajamos con valores positivos.
Mueve el control y observa cómo cambia la curva.
5 · Practica
No todas las preguntas se resuelven igual. Antes de operar, identifica la relación.
6 · Reto aplicado
Tres bombas iguales llenan un tanque en 10 horas. Si funcionan 5 bombas iguales al mismo ritmo, ¿cuánto tardarán?
El volumen del tanque es fijo: más bombas deben significar menos tiempo.
7 · Comprueba lo aprendido
Con 4 de 5 o más completarás la lección.
Idea clave: dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando su producto permanece constante.